Question

【題目】已知四棱錐中，平面平面，，，，，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，問(wèn)是否存在點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）存在，點(diǎn)E為的中點(diǎn)

【解析】

（1）由平面平面，，可證得平面，而 在平面內(nèi)，所以；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解

（1）證明：因?yàn)槠矫?/span>平面，，

平面平面， 在平面內(nèi)，

所以平面，

因?yàn)?/span> 在平面內(nèi)，所以；

（2）因?yàn)?/span>，，

所以，所以，所以,

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面,

所以,

因?yàn)?/span>,

所以平面,所以,

因?yàn)?/span>， ，所以,

所以,,

所以，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

設(shè)，則

因?yàn)?/span>為棱上一動(dòng)點(diǎn)在上，所以設(shè)，

所以，解得，

所以，,

設(shè)平面的法向量為，則,

所以

得，令，則，

所以

設(shè)平面的法向量為，則

所以，

令，則，得，

所以，

所以，

解得，

所以當(dāng)點(diǎn)E在的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為