Question

【題目】已知f（x）=log2（2x+a）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=log2（2x+1），且關(guān)于x的方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x+a＞0得2x＞﹣a，即x＞log2（﹣a），即函數(shù)的定義域?yàn)椋╨og2（﹣a），+∞）．

∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

∴l(xiāng)og2（﹣a）=0，則﹣a=1，則a=﹣1

（2）解：當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）=log2（2x﹣1），

由f（x）=m+g（x）得m=f（x）﹣g（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）

=log2（ ）=log2（1﹣ ），

令h（x）=log2（1﹣ ），

則h（x）在[1，2]上為增函數(shù)，

當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最小值h（1）=log2 ，

當(dāng)x=2時(shí)，h（x）取得最大值h（2）=log2 ，

則h（x）∈[log2 ，log2 ]，

則要使方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，

則m∈[log2 ，log2 ]

【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，根據(jù)條件建立方程進(jìn)行求解即可，（2）利用參數(shù)分離法進(jìn)行分類(lèi)，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的值域即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”．