如圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且
AP
=λ
AB
，
AQ
=（1-λ）
AC
，λ∈R，則
BQ
•
CP
的最大值為
 
．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，可得
AB
•
AC
=1×1×cos60°．再利用向量的三角形法則可得
BQ
•
CP
=(
BA
+
AQ
)•(
CA
+
AP
)=[
BA
+(1-λ)
AC
]•(
CA
+λ
AB
)，利用數(shù)量積的性質(zhì)展開，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答： 解：∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，∴
AB
•
AC
=1×1×cos60°=
1
2
．
∴
BQ
•
CP
=(
BA
+
AQ
)•(
CA
+
AP
)
=[
BA
+(1-λ)
AC
]•(
CA
+λ
AB
)
=
AB
•
AC
-λ
AB
2-（1-λ）
AC
2+λ(1-λ)
AB
•
AC

=
1
2
-λ-（1-λ）+λ(1-λ)×
1
2

=-
1
2
(λ-
1
2
)2-
3
8
，
∵0≤λ≤1，
∴當(dāng)λ=
1
2
時(shí)，
BQ
•
CP
取得最大值-
3
8
．
故答案為：-
3
8
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三角形的性質(zhì)、向量的三角形法則、數(shù)量積的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=2-
3
t
y=t
（t為參數(shù)），圓C的方程為x2+y2=4．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l和圓C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)（要求極角θ∈[0，2π））

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，求證：
（1）cos（A+B）=-cosC；
（2）sin（2A+2B）=-sin2C；
（3）cos（2A+2B）=cos2C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（4，-2），則它的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x，y滿足log2[4cos2（xy）+
1
4cos2(xy)
]=lny-
y
2
+ln
e2
2
，則ycos4x的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l過(guò)雙曲線C：3x2-y2=9的右頂點(diǎn)，且與雙曲線C的一條漸近線平行．若拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)恰好在直線l上，則p=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

圓的方程為x2+y2-2x-2y+1=0，若直線x+y+a=0與圓有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，AF1⊥AB，且|AF1|=|AB|，則橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若f（x）=-
1
2
x2+blnx在[1，+∞）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（　�。�
A、[-1，+∞）
B、（-1，+∞）
C、（-∞，1]
D、（-∞，-1）

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