Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=2- 3 t y=t

（t為參數(shù)），圓C的方程為x²+y²=4．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l和圓C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)（要求極角θ∈[0，2π））

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，再把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入化簡(jiǎn)可得直線的極坐標(biāo)方程；再把圓C的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線和曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組，求得cos（θ-

π

3

）=

1

2

，結(jié)合θ∈[0，2π），可得θ的值，從而求得l和圓C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程為

x=2- 3 t y=t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為x+

3

y-2=0，
把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入化簡(jiǎn)可得 ρcosθ+

3

ρsinθ-2=0，即ρcos（θ-

π

3

）=1．
圓C的方程為x²+y²=4化為極坐標(biāo)方程為ρ²=4，即 ρ=2．
 （Ⅱ）由

ρcos(θ- π 3 )=1 ρ=2

，求得cos（θ-

π

3

）=

1

2

．
結(jié)合θ∈[0，2π）可得θ-

π

3

=-

π

3

，或 θ-

π

3

=

π

3

，∴θ=0，或θ=

2π

3

．
∴直線l和圓C的圖象的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，0）、（2，

2π

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．