Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=-13，

1

an

-

2

an•an+1

-

1

an+1

=0，且前n項的和為S_n．
（1）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{

Sn

n

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

1

an

-

1

an+1

=

2

an•an+1

，由此能證明{a_n}為首項a₁=-13，公差為d=2的等差數(shù)列．
（2）由Sn=-13n+

n(n-1)

2

×2=n²-14n，得

Sn

n

=n-14，由此能求出數(shù)列{

Sn

n

}的前n項和T_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=-13，

1

an

-

2

an•an+1

-

1

an+1

=0，
∴

1

an

-

1

an+1

=

2

an•an+1

，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}為首項a₁=-13，公差為d=2的等差數(shù)列．
（2）解：∵{a_n}為首項a₁=-13，公差為d=2的等差數(shù)列，
∴Sn=-13n+

n(n-1)

2

×2=n²-14n，
∴

Sn

n

=n-14，
∴數(shù)列{

Sn

n

}是首項為-13，公差為1的等差數(shù)列，
∴T_n=-13n+

n(n-1)

2

×1=

1

2

n2-

27

2

n．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．