如圖，在三棱錐中，，，設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為．

（Ⅰ）求證:；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且，試求二面角的余弦值．

（1）根據(jù)題意，由于已知條件可知平面，那么利用線面垂直的性質(zhì)定理得到。
（2）

解析試題分析：證明：（I）方法一：由平面得，
又，則平面，
故，  2分
同理可得，則為矩形，又，
則為正方形，故．  4分
方法二：由已知可得，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則平面，故平面平面，則頂點(diǎn)在底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角， 7分
由已知可得，則，故，則，
又，則，  9分
故，即二面角的余弦值為． 11分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，

則，
可得， 7分
則，易知平面
的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，則由得， 9分
則，即二面角的余弦值為． 11分
考點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的大小
點(diǎn)評：主要是考查了線面垂直以及二面角的平面角的求解的運(yùn)用屬于基礎(chǔ)題。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，、分別是、的中點(diǎn)．
 
（1）求證：面面；
（2）求直線與平面所成的角正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點(diǎn).

(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱

（I）當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí)，畫出四棱錐的正視圖（要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過程）；
（II）若M為PA的中點(diǎn)，求證：求二面角
（III）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
求證：平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥FG；
（2）確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．
（3）當(dāng)二面角B—PC—D的大小為時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

（Ⅰ）請?jiān)诰�段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實(shí)；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在長方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

（1）求棱的長；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．

(Ⅰ) 當(dāng)，是否在折疊后的AD上存在一點(diǎn)，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(Ⅱ) 設(shè)BE＝x，問當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個(gè)最大值．

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同步練習(xí)冊答案