Question

在△ABC中，邊a，b，c所對(duì)的角A，B，C組成一個(gè)公差為α的等差數(shù)列．
（1）若a=2，c=3，求tanα的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，且a+c=λb，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得B=60°，A=60°-α，C=60°+α，再由余弦定理可得b，再由正弦定理，結(jié)合兩角和差的正弦公式，即可得到所求；
（2）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合兩角和差的正弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到取值范圍．

解答： 解：（1）在△ABC中，邊a，b，c所對(duì)的角A，B，C組成一個(gè)公差為α的等差數(shù)列，
則A+C=2B=180°-B，即有B=60°，A=60°-α，C=60°+α，
則b²=a²+c²-2accosB=4+9-2×2×3×

1

2

=7，即b=

7

，
由

2

sin(60°-α)

=

7

sin60°

=

3

sin(60°+α)

，
得，2（sin60°cosα+cos60°sinα）=3（sin60°cosα-cos60°sinα），
即有

3

2

cosα=

5

2

sinα，則tanα=

3

5

；
（2）若△ABC為銳角三角形，則0°＜60°-α＜90°，0°＜60°+α＜90°，
即有-30°＜α＜30°，
由于a+c=λb，則有sinA+sinC=λsinB，
sin（60°-α）+sin（60°+α）=

3

2

λ，
即有2×

3

2

cosα=

3

2

λ，即λ=2cosα，
由于-30°＜α＜30°，則

3

2

＜cosα≤1，
即有

3

＜λ≤2．
則λ的取值范圍是：（

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換該函數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．