Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左頂點(diǎn)，離心率，為右焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）判斷能否成為等邊三角形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

，或，不能

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 (a>b>0) ，
由已知
∴                 -----------------------------------------2分
∴橢圓方程為．           -------------------------------------------------4分
（Ⅱ）解法一
橢圓右焦點(diǎn)．
設(shè)直線方程為（∈R）．          ----------------------------------5分
由   得．①          -----------6分
顯然，方程①的．
設(shè)，則有．     ----7分

．
∵，
∴ ．
解得．
∴直線PQ 方程為，即或．    ----------9分
解法二：橢圓右焦點(diǎn)．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意．
設(shè)直線方程為，            --------------------------------------5分
由 得．  ①     ----6分
顯然，方程①的．
設(shè)，則．      --------7分


=．
∵，
∴，解得．
∴直線的方程為，即或．  --------9分
（Ⅲ）不可能是等邊三角形．   ---------------------------------------------------11分
如果是等邊三角形，必有，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，或（無(wú)解）．
而當(dāng)時(shí)，，不能構(gòu)成等邊三角形．
∴不可能是等邊三角形．------------------------------------------------------------14分