已知實數(shù)x,y滿足
x+3y-3n-1≤0
2x-y+n-2≤0
,其中n∈N*,目標函數(shù)z=x+y的最大值記為an,又數(shù)列{bn}滿足:nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
n-1+(
9
10
n-2+…+
9
10
+1
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若cn=-an•bn,試問數(shù)列{cn}中,是否存在正整數(shù)k,使得對于{cn}中任意一項cn,都有cn≤ck成立?證明你的結論.
分析:(1)利用線性規(guī)劃求出數(shù)列的通項公式an,利用nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
n-1+(
9
10
n-2+…+
9
10
+1
作差求出{bn}的通項公式;
(2)寫出cn=-an•bn,通過比較數(shù)列{cn}中,存在正整數(shù)k=8或9,使得對于{cn}中任意一項cn,都有cn≤ck成立
解答:解:(1)由線性規(guī)劃知識可知an=n+1              …4 分
.當n=1時b1=1
當n≥2時
由nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
n-1+(
9
10
n-2+…+
9
10
+1,得,
(n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(
9
10
n-2+(
9
10
n-3+…+
9
10
+1
兩式相減,
得:b1+b2+…+bn-1+bn=(
9
10
n-1,n≥2,
顯然n=1時b1=1也適合上式即:…6 分
b1+b2+…+bn-1+bn=(
9
10
n-1,n∈N
當n≥2時
bn=Sn-Sn-1=-
1
10
(
9
10
)n-1

即:bn=
1                 n=1
-
1
10
(
9
10
)
n-1
       n≥2
                  …8 分
(2)由(1)與(2)得:cn=-an•bn
=
-2                 n=1
n+1
10
(
9
10
)
n-2
       n≥2
      …(10分)
當n=1時,c2-c1=
23
10
>0
⇒c2>c1                    …(11分)
當n≥2時,cn+1-cn=
8-n
100
(
9
10
)
n-2
,…(13分)
∴當n<8時,cn+1>cn
當n=8時,cn+1=cn,
當n>8時,cn+1<cn
即c1<c2<…<c8>c9>c10>c11>…(15分)
所以存在正整數(shù)k=8或9,使得對于{cn}中的任意一項cn,均有cn≤c8或cn≤c9 …(16分)
點評:本題考查數(shù)列求和,通項公式的應用,數(shù)列的函數(shù)特征,考查分析問題解決問題的能力.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知實數(shù)x,y滿足
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,則下列不等式中恒成立的是( 。
A、|y|<
b
a
x
B、y>-
b
2a
|x|
C、|y|>-
b
a
x
D、y<
2b
a
|x|

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知實數(shù)x,y滿足
x-y+2≥0
x+y≥0
x≤1.
則z=2x+4y的最大值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知實數(shù)x、y滿足
x+2y-2≥0
x≤2
y≤1
z=
|3x+4y-2|
5
的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知實數(shù)x,y滿足
x≥0
y≥0
x+y≤s
y+2x≤4
,當2≤s≤3時,目標函數(shù)z=3x+2y的最大值函數(shù)f(s)的最小值為
6
6

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•湛江一模)已知實數(shù)x,y滿足
x≥1
y≤2
x-y≤0
,則x2+y2的最小值是( 。

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