Question

已知實數(shù)x，y滿足

x+3y-3n-1≤0 2x-y+n-2≤0

，其中n∈N^*，目標函數(shù)z=x+y的最大值記為a_n，又數(shù)列{b_n}滿足：nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=-a_n•b_n，試問數(shù)列{c_n}中，是否存在正整數(shù)k，使得對于{c_n}中任意一項c_n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用線性規(guī)劃求出數(shù)列的通項公式a_n，利用nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1
作差求出{b_n}的通項公式；
（2）寫出c_n=-a_n•b_n，通過比較數(shù)列{c_n}中，存在正整數(shù)k=8或9，使得對于{c_n}中任意一項c_n，都有c_n≤c_k成立

解答：解：（1）由線性規(guī)劃知識可知a_n=n+1              …4 分
．當n=1時b₁=1
當n≥2時
由nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1，得，
（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+b_n-1=（

9

10

）^n-2+（

9

10

）^n-3+…+

9

10

+1
兩式相減，
得：b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1，n≥2，
顯然n=1時b₁=1也適合上式即：…6 分
b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1，n∈N
當n≥2時
b_n=S_n-S_n-1=-

1

10

(

9

10

)n-1
即：bn=

1                 n=1 - 1 10 ( 9 10 )n-1       n≥2

                  …8 分
（2）由（1）與（2）得：c_n=-a_n•b_n，
=

-2                 n=1 n+1 10 ( 9 10 )n-2       n≥2

      …（10分）
當n=1時，c₂-c₁=

23

10

＞0⇒c₂＞c₁                    …（11分）
當n≥2時，c_n+1-c_n=

8-n

100

(

9

10

)n-2，…（13分）
∴當n＜8時，c_n+1＞c_n
當n=8時，c_n+1=c_n，
當n＞8時，c_n+1＜c_n
即c₁＜c₂＜…＜c₈＞c₉＞c₁₀＞c₁₁＞…（15分）
所以存在正整數(shù)k=8或9，使得對于{c_n}中的任意一項c_n，均有c_n≤c₈或c_n≤c₉ …（16分）

點評：本題考查數(shù)列求和，通項公式的應用，數(shù)列的函數(shù)特征，考查分析問題解決問題的能力．