已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為6,其離心率為
7
4
.若l1,l2是橢圓C的兩條相互垂直的切線,l1,l2的交點(diǎn)為點(diǎn)P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)記點(diǎn)P的軌跡為C′,設(shè)l1,l2與軌跡C′的異于點(diǎn)P的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,求△PMN的面積的取值范圍.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)先求出b,再利用離心率為
7
4
,求出a,即可求橢圓C的方程;
(2)先確定點(diǎn)P的軌跡方程,再表示出△PMN的面積,利用換元法,即可求△PMN的面積的取值范圍.
解答: 解:(1)因?yàn)闄E圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為6,
所以2b=6,所以b=3,
因?yàn)殡x心率為
7
4
,所以1-
9
a2
=
7
16
,
所以a=4,
所以橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
9
=1
.…(5分)
(2)①若直線l1的斜率存在且不為零時(shí),設(shè)為k,設(shè)P(x0,y0),則直線l1的方程為y-y0=k(x-x0).
即y=kx+y0-kx0,令m=y0-kx0
代入橢圓方程可得(16k2+9)x2+32kmx+16m2-144=0.
直線l1是橢圓的切線,所以△=0,所以m2=16k2+9,
坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l1的距離d1=
|m|
1+k2
,所以d12=
16k2+9
1+k2

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l1的距離為d2,同理可得d22=
9k2+16
1+k2

所以|OP|2=d12+d22=25.
②若直線l1的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí),容易驗(yàn)證|OP|2=d12+d22=25,
所以P的軌跡C′是圓x2+y2=25…(10分)
S△PMN=
1
2
|PM||PN|=2d1d2
若直線l1的斜率存在且不為零時(shí),d12=
16k2+9
1+k2
,則d1∈(3,4);若直線l1的斜率為零,則d1=3;
若直線l1的斜率不存在,則d1=4.所以d1∈[3,4].
S△PMN=
1
2
|PM||PN|=2d1d2=2
d12(25-d12)
,
令t=d12,則t∈[9,16].所以S△PMN=2
t(25-t)
∈[24,25].
所以△PMN的面積的取值范圍為[24,25].…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程與性質(zhì),考查三角形面積的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,正確表示三角形的面積是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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值域是(0,+∞)的函數(shù)是( 。
A、y=(
1
3
1-x
B、y=
1
5-x+1
C、y=
1-2x
D、y=
(
1
2
)x-1

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已知向量
a
=(cos
3
2
x,sin
3
2
x),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),且x∈[0,
π
2
],
(1)求
a
b
及|
a
+
b
|;
(2)若f(x)=
a
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
,求實(shí)數(shù)λ的值.

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設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線:x2=4
2
y的焦點(diǎn)重合,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn),離心率e=
3
3
,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦,且MN∥AB,問(wèn)是否存在常數(shù)λ,使|AB|=λ
|MN|
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