已知向量
a
=(cos
3
2
x,sin
3
2
x),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),且x∈[0,
π
2
],
(1)求
a
b
及|
a
+
b
|;
(2)若f(x)=
a
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
,求實(shí)數(shù)λ的值.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得
a
b
,再根據(jù)
a
+
b
的坐標(biāo),求得|
a
+
b
|的值.
(2)由(Ⅰ)得 f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2,再結(jié)合1≥cosx≥0可得,分類討論,利用二次函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)f(x)的最小值是-
3
2
,分別求得實(shí)數(shù)λ的值,綜合可得結(jié)論.
解答: 解:(1)由題意可得
a
b
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
=cos2x,
a
+
b
=(cos
3
2
x+cos
x
2
,sin
3
2
x-sin
x
2
),
∴|
a
+
b
|=
(sin
3x
2
+cos
x
2
)
2
+(sin
3x
2
-sin
x
2
)
2
=
2+2cos2x
=2|cosx|.
∵x∈[0,
π
2
],∴1≥cosx≥0,∴|
a
+
b
|=2cosx.
(2)由(Ⅰ)得 f(x)=
a
b
-2λ|
a
+
b
|=cos2x-4λcosx=2(cosx-λ)2-1-2λ2,
再結(jié)合1≥cosx≥0可得,
當(dāng)λ<0時(shí),則cosx=0時(shí),f(x)取得最小值為-1,這與已知矛盾.
當(dāng)0≤λ≤1時(shí),則cosx=λ時(shí),f(x)取得最小值為-1-2λ2
當(dāng)λ>1時(shí),則cosx=1時(shí),f(x)取得最小值為1-4λ.
由已知得1-4λ=-
3
2
,λ=
5
8
,這與λ>1相矛盾.
綜上所述,λ=
1
2
為所求.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,三角恒等變換,二次函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,2),則ab=( 。
A、-8B、-6C、-1D、5

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4
x
+x( 。
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C、有最小值4
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單價(jià)x(元)456789
銷量y(件)908483807568
由表中數(shù)據(jù),求得線性回歸方程為
y
=-4x+a.若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn),則它在回歸直線左下方的概率為 ( 。
A、
1
6
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3

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已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1}.
(1)若A⊆B,求m的取值范圍;
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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為6,其離心率為
7
4
.若l1,l2是橢圓C的兩條相互垂直的切線,l1,l2的交點(diǎn)為點(diǎn)P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)記點(diǎn)P的軌跡為C′,設(shè)l1,l2與軌跡C′的異于點(diǎn)P的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,求△PMN的面積的取值范圍.

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解不等式:
9x-5
x2-5x+6
≥-2.

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x-3
x+2
≤0},求:
(1)A∪B;
(2)(∁RA)∩B.

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