已知函數(shù)f(x)=
ex
x

①求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
②設g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+∞)是存在極值點,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:①求f′(x),根據(jù)f′(x)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
②求g′(x),g(x)在(0,+∞)上存在極值點,就是g′(x)=0在(0,+∞)上的實數(shù)解,并由g′(x)=0得到x=lna,x>0,所以a>1.
解答: 解:①f′(x)=
ex(x-1)
x2

∴x∈(-∞,0)和x∈(0,1)時,f′(x)<0;x∈(1,+∞)時,f′(x)>0;
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是:(-∞,0),(0,1);單調(diào)增區(qū)間是:[1,+∞);
②g(x)=ex-ax+1,
∴g′(x)=ex-a;
∵g(x)在(0,+∞)上存在極值點;
∴g′(x)=0在(0,+∞)上有實數(shù)解;
∴由g′(x)=0得:ex=a,
∴x=lna;
∵x>0,
∴l(xiāng)na>0,
∴a>1;
∴實數(shù)a的取值范圍為(1,+∞).
點評:本題考查根據(jù)導數(shù)符號找單調(diào)區(qū)間的方法,函數(shù)極值點的定義,函數(shù)極值點與方程g′(x)=0實數(shù)解的關系.
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