Question

命題p：函數(shù)y=lg（x+

a

x

-3）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q：y=lg（x²-ax+4）函數(shù)的定義域為R，則p是q成立的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分不必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：導數(shù)的綜合應用,簡易邏輯

分析：先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，及對數(shù)式中真數(shù)大于0，一元二次不等式的解和判別式△的關系即可求出命題p，q下的a的范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的概念判斷p，q的關系即可．

解答： 解：y′=

x2-a

x2(x+ a x -3)ln10

；
∵函數(shù)y=lg（x+

a

x

-3）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
根據(jù)函數(shù)y=lg（x+

a

x

-3）知，x+

a

x

-3＞0；
∴x²-a≥0在[2，+∞）上恒成立，∴(x+

a

x

-3)′=

x2-a

x2

≥0，即函數(shù)x+

a

x

-3在[2，+∞）是增函數(shù)；
∴x+

a

x

-3≥2+

a

2

-3＞0，∴a＞2；
由x²-a≥0在[2，+∞）上恒成立得a≤x²恒成立，∴a≤4；
∴2＜a≤4；
y=lg（x²-ax+4）函數(shù)的定義域為R，所以不等式x²-ax+4＞0的解集為R；
∴△=a²-16＜0，∴-4＜a＜4；
顯然2＜a≤4是-4＜a＜4的既不充分又不必要條件；
∴p是q成立的既不充分也不必要條件．
故選D．

點評：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，根據(jù)單調(diào)性求最值，對數(shù)式中真數(shù)大于0，以及一元二次不等式的解和判別式△的關系．