Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形F₁B₁F₂B₂是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q ）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)、．當(dāng)線段MN的中點(diǎn)G落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線L的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由于a²=8，b=c，a²=b²+c²，解得即可得出．
（II）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）．由于直線l的斜率k存在，可設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）．設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為G（x₀，y₀），直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．由△＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，x0=

x1+x2

2

=

-8k2

1+2k2

，y₀=

4k

1+2k2

．由于x₀≤0，點(diǎn)G不可能在y軸的右邊．直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁方程分別為y=x+2，y=-x-2．點(diǎn)G在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，解出即可．

解答： 解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵a²=8，b=c，a²=b²+c²，解得b²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（II）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）．
由于直線l的斜率k存在，可設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）．
設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為G（x₀，y₀），聯(lián)立

y=k(x+4) x2+2y2=8

，
可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②
∴x₁+x₂=

-16k2

1+2k2

，x0=

x1+x2

2

=

-8k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+4）=

4k

1+2k2

．
∵x₀≤0，所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊．
又直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁方程分別為y=x+2，y=-x-2
∴點(diǎn)G在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，
即

4k 1+2k2 ≤ -8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥ 8k2 1+2k2 -2

化為

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

，解得-

3 -1

2

≤k≤

3 -1

2

．
滿足②．∴直線l的斜率的取值范圍是[-

3 -1

2

，

3 -1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．