Question

已知y=f（x）（x∈R）是偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2時都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當x＜0時，有-x＞0，由f（x）為偶函數(shù)，求得此時f（x）=f（-x）的解析式，從而得到函數(shù)f（x）在R上的解析式．
（2）由題意得m≤x-2在1≤x≤2時都成立，而在1≤x≤2時，求得（x-2）_min=-1，由此可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）當x＜0時，有-x＞0，
∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（2）由題意得x²-2x≥mx在1≤x≤2時都成立，即x-2≥m在1≤x≤2時都成立，
即m≤x-2在1≤x≤2時都成立．
而在1≤x≤2時，（x-2）_min=-1，∴m≤-1．

點評：本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．