Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M為棱A₁B₁的中點(diǎn)，試求：
（1）三棱錐M-ABC的體積；
（2）直線MC與BB₁所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得AA₁⊥底面ABC，AA₁=1，S_△ABC=

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

，由此能求出三棱錐M-ABC的體積．
（2）以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線MC與BB₁所成角的大�。�

解答： 解：（1）在棱長(zhǎng)為1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁⊥底面ABC，AA₁=1，
S_△ABC=

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

，
∴三棱錐M-ABC的體積：
V=

1

3

×AA1×S△ABC=

1

3

×1×

3

4

=

3

12

．
（2）以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（

3

4

，

1

4

，1），C（0，2，0），
B（

3

2

，

1

2

，0），B₁（

3

2

，

1

2

，1），

MC

=（-

3

4

，

7

4

，-1），

BB1

=（0，0，1），
|cos＜

MC

，

BB1

＞|=|

-1

3 16 + 49 16 +1

|=

2 17

17

．
∴直線MC與BB₁所成角的大小為arccos

2 17

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成的角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．