Question

已知函數(shù)f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²；
（1）求函數(shù)f（x）的定義域并判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由真數(shù)大于0可得

1-x＞0 1+x＞0

，從而解出函數(shù)的定義域，再驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系即可，
（2）化簡(jiǎn)f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=lg（1-x²）+x⁴-2x²，換元法令x²=t，（0≤t＜1），易知y=lg（1-t）+t²-2t在[0，1）上是減函數(shù)，從而求值域．

解答： 解：（1）由題意，

1-x＞0 1+x＞0

，
解得，-1＜x＜1，
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），
又由f（-x）=lg（1+x）+lg（1-x）+x⁴-2x²=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（2）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²
=lg（1-x²）+x⁴-2x²，
令x²=t，（0≤t＜1），
則y=lg（1-t）+t²-2t在[0，1）上是減函數(shù)，
則lg（1-t）+t²-2t≤lg1+1-2=-1，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域的求法及奇偶性的判斷，同時(shí)考查了函數(shù)的值域的求法，用到了換元法及單調(diào)性求值域，屬于基礎(chǔ)題．