Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于一切n∈N⁺，

Sn

S2n

=t（t為非零常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為“和諧數(shù)列”，t為“和諧比”．
（1）設(shè)數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}為“和諧數(shù)列”，并求出“和諧比”；
（2）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{c_n}的首項(xiàng)為c₁，公比為q（q≠1），若數(shù)列{lgc_n}為“和諧數(shù)列”，試探究c₁與q之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，即可得到t；
（2）應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)和等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，即可得到t、q和c₁的關(guān)系．

解答： （1）證明：b_n=1+（n-1）×2=2n-1，s_n=n+

n

2

（n-1）×2=n²，s_2n=4n²，
∴t=

Sn

S2n

=

1

4

即數(shù)列{b_n}為“和諧數(shù)列”；
（2）∵c_n=c₁q^n-1，lgc_n-lgc_n-1=lgq，
∴{lgc_n}為等差數(shù)列，
∴

Sn

S2n

=

nlgc1+ n(n-1) 2 lgq

2nlgc1+ 2n(2n-1) 2 lgq

=t⇒(lgc1-

1

2

lgq)+

lgq

2

n=t(2lgc1-lgq)+2tnlgq，
∴l(xiāng)gc₁=

1

2

lgq，且4t=1，
∴q=c₁²，t=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義及應(yīng)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，屬于中檔題．