Question

如圖，在幾何體ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE∥BD，△ABC為邊長等于2的正三角形，CD=2

3

，BD=4，AE=2，M為CD的中點．
（Ⅰ）證明：平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：EM∥平面ABC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明BC⊥CD，利用平面ABC⊥平面BCD，可得DC⊥平面ABC，即可證明平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中點F，連接FM，證明四邊形AEMF為平行四邊形，可得AF∥EM，即可證明：EM∥平面ABC．

解答： 證明：（Ⅰ）在△BCD中，BC=2，CD=2

3

，BD=4，
∴BC²+CD²=BD²，
∴BC⊥CD，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
∵DC?平面ECD，
∴平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中點F，連接FM．
在△BCD中，CF=FB=MD，
∴FM∥BD，F(xiàn)M=

1

2

BD，
∵AE=2，BD=4，AE∥BD，
∴FM∥AE．FM=AE，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面ABC，EM?平面ABC，
∴EM∥平面ABC．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查直線與平面平行的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．