Question

過原點的直線l與曲線C：

x2

3

+y2=1相交，若直線l被曲線C所截得的線段長不大于

6

，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（　�。�

• A、

  π

  6

  ≤α≤

  5π

  6

• B、

  π

  6

  ＜α＜

  2π

  3

• C、

  π

  3

  ≤α≤

  2π

  3

• D、

  π

  4

  ≤α≤

  3π

  4

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設該直線l的方程，聯立直線與曲線C方程，利用弦長公式，結合直線l被曲線C所截得的線段長不大于

6

，求出k的范圍，即可求出直線l的傾斜角α的取值范圍．

解答： 解：設該直線l的方程為：y=kx
聯立直線與曲線C方程可得：（1+3k²）x²=3
∴x₁-x₂=2

3 1+3k2

，
∴截得弦長為

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•2

3 1+3k2

∵直線L被曲線C所接的線段長不大于

6

即

1+k2

•2

3 1+3k2

≤

6

∴k²≥1
解得k≤-1或k≥1
∵k=tanα
∴45°≤α≤135°
故選：D．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查弦長公式的運用，考查直線斜率與傾斜角的關系，屬于中檔題．