Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在[2

，+∞)

上是單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值即可；
（2）由題意得f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

≥0在[2

，+∞)

上恒成立，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx+

1

x

，
∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

=0，∴x=1，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極小值為f（1）=1．
（2）f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，
∵f（x）在[2

，+∞)

上是單調(diào)遞增的，
∴f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

≥0在[2

，+∞)

上恒成立，
∴a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)熟練掌握．