Question

已知拋物線(xiàn)x²=2y存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N關(guān)于直線(xiàn)y=kx+3對(duì)稱(chēng)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：設(shè)M（x₁，

x12

2

）、N（x₂，

x22

2

）關(guān)于已知直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則

x1+x2

2

=-

1

k

x12+x22

4

=k•

x1+x2

2

+3=2．由于線(xiàn)段MN的中點(diǎn)必在拋物線(xiàn)內(nèi)，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：設(shè)M（x₁，

x12

2

）、N（x₂，

x22

2

）關(guān)于已知直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

x12 2 - x22 2

x2-x1

=-

1

k

，即

x1+x2

2

=-

1

k

又線(xiàn)段MN的中點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx+3上，
∴

x12+x22

4

=k•

x1+x2

2

+3=2．
由于線(xiàn)段MN的中點(diǎn)必在拋物線(xiàn)內(nèi)，
有

x12+x22

4

≥

1

2

(

x1+x2

2

)2=

(x1+x2)2

8

，即16≥

4

k2

，
解得k≥

1

2

或k≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．