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13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有Sn=32an+n-3成立.
(1)求證:存在實數(shù)λ使得數(shù)列{an+λ}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn

分析 (1)利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的定義通項公式即可得出.
(2)利用“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 (1)證明:∵Sn=32an+n-3,∴a1=S1=32a1+1-3,解得a1=4.
n≥2時,an=Sn-Sn-1=32an+n-3-32an1+n13,化為an=3an-1+2,
變形為:an+1=3(an-1+1),
因此取λ=1,則數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,首項為5,公比為3.
(2)由(1)可得:an+1=5×3n-1,可得an=5×3n-1-1,
∴nan=5n×3n-1-n.
數(shù)列{nan}的前n項和Tn=5(1+2×3+3×32+…+n×3n-1)-nn+12
設(shè)An=1+2×3+3×32+…+n×3n-1,
∴3An=3+2×32+…+(n-1)×3n-1+n×3n,
-2An=1+3+32+…+3n-1-n×3n=3n131-n×3n,
∴An=2n1×3n+14
∴Tn=52n1×3n+54-nn+12

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”、遞推公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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分  組頻  數(shù)頻  率
3.95~4.2520.04
60.12
4.55~4.8523
4.85~5.15
5.15~5.4510.02
合計1.00
整理數(shù)據(jù)后,分析數(shù)據(jù)如下:
(1)填寫頻率分布表中未完成的部分;
(2)若視力為4.9,5.0,5.1均屬正常,不需矯正,試估計該校畢業(yè)年級學(xué)生視力正常的人數(shù)約為多少?

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