Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知2Sn=3n+1+2n﹣3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=3n+1+2n﹣3，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=（3n+1+2n﹣3）﹣[3n+2（n﹣1）﹣3]=23n+2，

∴an=3n+1，

又a1=S1= （32+2×1﹣3）=4，適合上式，

∴an=3n+1；

（2）解：由（1）知an=3n+1，則nan=n3n+n，

∵數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn，

則Tn=131+232+…+n3n+（1+2+3+…+n），

令A(yù)n=131+232+…+n3n，①

則3An=132+233+…+（n﹣1）3n+n3n+1，②

①﹣②得：﹣2An=31+32+…+3n﹣n3n+1

= ﹣n3n+1=（ ）3n+1﹣ ，

∴An= 3n+1+ ．

∴Tn= 3n+1+ +

【解析】（1）由Sn=3n+1+2n﹣3，可得當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+1，再檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，a1是否適合上式，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）依題意，nan=n3n+n，Tn=131+232+…+n3n+（1+2+3+…+n），令A(yù)n=131+232+…+n3n ， 利用錯(cuò)位相減法可求得An= 3n+1+ ，而1+2+3+…+n= ，從而可得數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．