Question

已知f（x）=-

1

2

+

sin 5 2 x

2sin x 2

，x∈[

π

6

，

2π

3

]．
（1）將f（x）表示成cosx的多項式；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由

5x

2

 

5x

2

=

x

2

+2x，用兩角和的正弦公式將sin

5x

2

展開，再由倍角公式可化簡為f（x）=2cos²x+cosx-1，從而得解．
（2）配方可得f（x）=2cos²x+cosx-1=2（cos+

1

4

）²-

9

8

，根據(jù)正弦函數(shù)的性質可求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=-

1

2

+

sin x 2 cos2x+4cos2 x 2 sin x 2 cosx

2sin x 2

=-

1

2

+

2cos2x-1

2

+2cos²

x

2

cosx
=-

1

2

+

2cos2x-1

2

+（cosx+1）cosx
=cos²x-1+cos²x+cosx
=2cos²x+cosx-1
（2）∵f（x）=2cos²x+cosx-1=2（cosx+

1

4

）²-

9

8

，
∵x∈[

π

6

，

2π

3

]．
∴cosx∈[-

1

2

，

3

2

]
∴可解得當cosx=-

1

4

時，f（x）取最小值-

9

8

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．