Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+2，當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)A到x軸的距離為

2

，M是y軸正半軸上的一點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若A，B在x軸上方，且|OA|=|OM|，直線MA交x軸于N，求證：直線BN的斜率為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出A的坐標(biāo)，代入，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求得直線MA的方程，可得N的坐標(biāo)，即可證明直線BN的斜率為定值，并求出該定值．

解答： （Ⅰ）解：由題意得當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，±

2

)，
由題有(±

2

)2=2p，∴p=1
∴拋物線C的方程為：y²=2x
（Ⅱ）證明：由題A(a，

2a

)，B(a+2，

2a+4

)，
∵|OA|=|OM|，
∴M(0，

a2+2a

)，
∴kMA=

a2+2a - 2a

-a

∴直線MA的方程為：y=

a2+2a - 2a

-a

x+

a2+2a

，
∴xN=

a a2+2a

a2+2a - 2a

=

a a+2

a+2 - 2

∴kBN=

2a+4

a+2- a a+2 a+2 - 2

=

2

a+2 - a a+2 - 2

=

2 ( a+2 - 2 )

a+2 ( a+2 - 2 )-a

=

2 ( a+2 - 2 )

2- 2 a+2

=-1，
∴直線BN的斜率為定值，該定值為-1．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程，考查直線斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．