Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，4a_n+1=5a_n+

9an2+16

．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄，猜想求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并給與證明；
（2）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）寫出前四項(xiàng)猜出一個(gè)符合的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
（2）取倒數(shù)，利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵a₁=1，4a_n+1=5a_n+

9an2+16

，
∴a₂=

5

2

，a₃=

21

4

，a₄=

85

8

，
猜想a_n=

4n-1

3•2n-1

；
證明如下：①n=1時(shí)，a₁=1；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，則
n=k+1時(shí)，4a_k+1=5a_k+

9ak2+16

，
∴a_k+1=

5

4

a_k+

1

4

9ak2+16

=

5

4

•

4k-1

3•2k-1

+

1

4

9•( 4k-1 3•2k-1 )2+16

=

4k+1-1

3•2k

．
即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
由①②可知，a_n=

4n-1

3•2n-1

；
（2）證明：∵a_n=

4n-1

3•2n-1

，
∴

1

an

=

3•2n-1

4n-1

=

3

2

•

2n

4n-1

＜

3

2

•

1

2n

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

（

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

）=

3

2

（1-

1

2n

）＜2．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于n=k+1時(shí)的運(yùn)算要做到有的放矢．