Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+4|．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）設函數(shù)g（x）=k（x-3），k∈R，若f（x）＞g（x）對任意的x∈R都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：數(shù)形結合,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+4|，不等式 f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．可得①

x≤-4 3-x-x-4≥9

，或②

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

，或③

x≥3 x-3+x+4≥9

．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求；
（2）由題意可得，f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，作函數(shù)y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，由k_PB=2，A（-4，7），可得k_PA=-1，數(shù)形結合求得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+4|，
∴f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．
∴①

x≤-4 3-x-x-4≥9

，或②

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

，或③

x≥3 x-3+x+4≥9

．
解①可得x≤-5；解②可得x無解；解③求得：x≥4．
所以f（x）≥f（4）的解集為{x|x≤-5，或x≥4}．
（2）f（x）＞g（x）對任意的x∈R都成立，
即f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∵f（x）=|x-3|+|x+4|=

-2x-1，x≤-4 7，-4＜x＜3 2x+1，x≥3

．
由于函數(shù)g（x）=k（x-3）的圖象為恒過定點P（3，0），且斜率k變化的一條直線，
作函數(shù)y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，其中，k_PB=2，A（-4，7），
∴k_PA=

7-0

-4-3

=-1．
由圖可知，要使得f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴實數(shù)k的取值范圍為（-1，2]．

點評：本題主要考查含絕對值的函數(shù)的圖象和應用，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉化、分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．