Question

已知命題P：?x∈[-1，2]，都有x²-a≥0，命題Q：?x∈R，都有2x²+ax+1＞0，恒成立，若P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：求出命題P為真時(shí)a的取值范圍，命題Q為真時(shí)a的取值范圍；
由P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，得P為假Q(mào)為真，或Q為假P為真，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：∵命題P：?x∈[-1，2]，都有x²-a≥0，
∴a≤x²，當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，x²≥0，∴a≤0；
∵命題Q：?x∈R，都有2x²+ax+1＞0恒成立，
∴a²-8＜0，即-2

2

＜a＜2

2

；
又∵P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，
∴當(dāng)P為假命題Q為真命題時(shí)，

a＞0 -2 2 ＜a＜2 2

，即0＜a＜2

2

；
當(dāng)Q為假命題P為真命題時(shí)，

a≤0 a≤-2 2 ，或a≥2 2

，即a≤-2

2

；
綜上，a的取值范圍是{a|a≤-2

2

，或0＜a＜2

2

}．

點(diǎn)評：本題通過復(fù)合命題的真假性，考查了函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，以及一元二次不等式的恒成立問題，是綜合題目．