已知f（x）×f（y）=f（xy），f（x）≠0．求證：f（x）×f（
1
x
）=1．
考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專(zhuān)題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：首先令x=y=1，求得f（1）=1，再令y=
1
x
，問(wèn)題即得證．
解答： 證明：∵f（x）×f（y）=f（xy），f（x）≠0
令x=y=1，
則f（1）×f（1）=f（1），f（1）≠0
故f（1）=1，
再令y=
1
x
，
則f（x）×f（
1
x
）=f（1）．
故等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，解決抽象函數(shù)常用方法：賦值法，注意準(zhǔn)確賦值是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查證明函數(shù)的單調(diào)性的方法：定義法，注意條件的反復(fù)運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題P：?x∈[-1，2]，都有x2-a≥0，命題Q：?x∈R，都有2x2+ax+1＞0，恒成立，若P∧Q為假命題，P∨Q為真命題，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

作由曲線y=x2-1，直線y=x+1及y軸所圍成的圖形并求該圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的a、b恒有f（a+b）=f（a）•f（b），當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，滿足f（2）=
1
4
，f（0）≠0，求f（0），f（1），f（3）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用數(shù)字2，3，5，6，7組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，使得每個(gè)五位數(shù)中的相鄰的兩個(gè)數(shù)都互質(zhì)，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是
x=
2
2
t+m
y=
2
2
t
（t是參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
14
，試求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}共有9項(xiàng)，其中，a1=a9=1，且對(duì)每個(gè)i∈{1，2，…8}，均有
ai+1
ai
∈{2，1，-
1
2
}．
（1）記S=
a2
a1
+
a3
a2
+…+
a9
a8
，則S的最小值為
 
．
（2）數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

由不等式x+
1
x
≥2，x+
4
x2
≥3，x+
27
x3
≥4，…可推廣為x+
an
xn
≥n+1，則a=
 
．

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