分析 (1)先根據(jù)向量的平行得到n(Sn+1-2Sn)=2Sn,繼而得到$\frac{{S}_{{\;}_{n+1}}}{n+1}$=2•$\frac{{S}_{n}}{n}$,問題得以證明,
(2)由(1)可得以${S_n}=n•{2^{n-1}}$,由錯位相減法即可求出數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.
解答 證明:(1)$\overrightarrow a=({S_{n+1}}-2{S_n},{S_n})$,$\overrightarrow b=(2,n)$,$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$.
∴n(Sn+1-2Sn)=2Sn,
∴$\frac{{S}_{{\;}_{n+1}}}{n+1}$=2•$\frac{{S}_{n}}{n}$,
∴a1=1,
∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=1,
∴數(shù)列$\{\frac{S_n}{n}\}$是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列
(2)由(1)知$\frac{S_n}{n}={2^{n-1}}(n∈{N^+})$,
∴${S_n}=n•{2^{n-1}}$,
∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1,
∴2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n,
由錯位相減得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=$\frac{1(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n=2n-1-n•2n=(1-n)2n-1,
∴Tn=(n-1)2n+1
點評 本題考查了向量的平行和等比數(shù)列的定義和錯位相減法求和,屬于中檔題.
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A. | 最大值 | B. | 最小值 | C. | 沒有最大值 | D. | 沒有最小值 |
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A. | 12 | B. | 24 | C. | $4\sqrt{3}$ | D. | $8\sqrt{3}$ |
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A. | 5 | B. | 6 | C. | 7 | D. | 8 |
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A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | c>a>b | D. | b>c>a |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
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