Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若存在唯一整數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，采用參變分離的方法，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設函數(shù)，于是只需滿足即可，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；（2）存在唯一整數(shù)，使得，即，于是問題轉(zhuǎn)化為存在唯一一個整數(shù) 使得函數(shù)圖像在直線下方，于是可以畫出兩個函數(shù)圖像，結(jié)合圖像進行分析，確定函數(shù)在時圖像之間的關(guān)系，通過比較斜率大小來確定的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， ，

要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需，即

在上恒成立即可，

易知在上單調(diào)遞增，所以只需即可，

易知當時， 取最小值， ，

∴實數(shù)的取值范圍是.

（2）不等式即，

令，

則， 在上單調(diào)遞增，

而，

∴存在實數(shù)，使得，

當時， ， 在上單調(diào)遞減；

當時， ， 在上單調(diào)遞增，∴.

，畫出函數(shù)和的大致圖象如下，

的圖象是過定點的直線，

由圖可知若存在唯一整數(shù)，使得成立，則需，

而，∴．

∵，∴．

于是實數(shù)的取值范圍是．