Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1.

(1) 若橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2) 已知m=6.

①若P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0),求PM的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);

②過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線,交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線l交x軸于點(diǎn)N,求證:是定值;并求出這個(gè)定值.

Answer 1

 (1) 由題意得m>8-m>0,解得4<m<8.

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8).

(2) 因?yàn)閙=6,所以橢圓C的方程為+=1.

①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),則+=1.

因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0),所以

PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2-=-2x+3 =+,x∈[-,].

所以當(dāng)x=時(shí),PM的最小值為,此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)為.

②由a2=6,b2=2,得c2=4,即c=2,

從而橢圓C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),右準(zhǔn)線方程為x=3,離心率e=.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)H(x0,y0),則

+=1,+=1,

所以+=0,即kAB==-.

令k=kAB,則線段AB的垂直平分線l的方程為y-y0=-(x-x0).

令y=0,則xN=ky0+x0=x0.

因?yàn)镕(2,0),所以FN=|xN-2|=|x0-3|.

因?yàn)锳B=AF+BF,

所以AB=e(3-x1)+e(3-x2)=|x0-3|.

所以=×=.

即為定值.