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9.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+23cos2x-3,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知a,b,c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2且f(A2+\frac{2π}{3})=\sqrt{3},求△ABC面積的最大值.

分析 (1)由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin(2x+\frac{π}{3}),由周期公式可得最小正周期,解2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}可得單調(diào)增區(qū)間;
(2)由(1)和f(\frac{A}{2}+\frac{2π}{3})=\sqrt{3}可得A=\frac{2π}{3},再由余弦定理和基本不等式可得bc的范圍,可得面積最值.

解答 解:(1)由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f(x)=2sinxcosx+2\sqrt{3}cos2x-\sqrt{3}
=2sinxcosx+\sqrt{3}(2cos2x-1)=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin(2x+\frac{π}{3}),
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{2}=π,
由2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}可解得kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12},
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-\frac{5π}{12},kπ+\frac{π}{12}](k∈Z);
(2)由(1)和f(\frac{A}{2}+\frac{2π}{3})=\sqrt{3}可得2sin(A+\frac{4π}{3}+\frac{π}{3})=\sqrt{3},
∴sin(A-\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2},∴由三角形內(nèi)角的范圍可得A-\frac{π}{3}=\frac{π}{3},故A=\frac{2π}{3},
由余弦定理可得4=a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,
解得bc≤\frac{4}{3},∴△ABC面積S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}bc≤\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3},
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),S取到最大值\frac{\sqrt{3}}{3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及余弦定理和基本不等式求最值,屬中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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分組頻數(shù)頻率
[8.4,8.9)90.15
[8.9,9.4)m0.3
[9.4,9.9)24n
[9.9,10.4)qp
[10.4,10.9)30.05
合計(jì)t1
(I)求表中t,p及圖中a的值;
(Ⅱ)在所取的樣本中,從不少于9.9環(huán)的成績(jī)中任取3次,X表示所取成績(jī)不少于10.4的次數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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