Question

已知A、B為拋物線C：x²=2y上的兩點，點P（0，t）（t＞0）滿足

AP

=λ

PB

（λ＞1）．
（1）若P為拋物線的焦點，分別過A、B作拋物線C的切線，兩條切線交于點Q，求證：k_QA•k_QB為定值．
（2）若t=4，直線AB的斜率為1，過A、B兩點的圓P與拋物線在點A處有共同的切線，求圓P的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線AB的方程為y=kx+0.5，代入拋物線方程x²=2y，利用韋達定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識，即可證明結(jié)論；
（2）由題得直線AB的方程是x-y+4=0聯(lián)立拋物線的方程解得A（4，8）和B（-2，2），進而直線NA的方程為y=4x-8，由A，B兩點的坐標得到線段AB中垂線方程為，可求N點的坐標，進而求出圓N的方程．

解答： （1）證明：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+0.5，代入拋物線方程x²=2y得x²-2kx-1=0．①
設(shè)A、B兩點的坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程①的兩根．
所以x₁x₂=-1．
∵x²=2y，∴y=

1

2

x²，∴y′=x
∴QA的斜率x₁，QB的斜率x₂，
∴k_QA•k_QB=x₁x₂=-1
（2）解：設(shè)圓心為N，直線AB的方程是y=x+4，即x-y+4=0．
與拋物線聯(lián)立及

AP

=λ

PB

（λ＞1），得A（4，8）和B（-2，2）
∵y′=x
∴拋物線x²=2y在點A處切線的斜率為y'|_x=4=4．
直線NA的方程為y-8=4（x-4），即y=4x-8．①
線段AB的中點坐標為（1，5），線段AB中垂線方程為y=-x+6．②
由①、②解得N（2.8，3.2）．
于是，圓N的方程為（x-2.8）²+（y-3.2）²=18．

點評：本題主要考查拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點．