Question

已知函數(shù)

（1）若在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若x=-是的極值點(diǎn)，求在［1，a］上的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)=bx的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1）;（2）;（3）

【解析】

試題分析：（1）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)在區(qū)間［1，+∞）上恒成立；

（2）由得，判定函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的最大值為；

（3）兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)不同的公共點(diǎn)方程恰有三個(gè)不同的實(shí)根有兩個(gè)不同非零實(shí)根。

試題解析：（1）,∵f（x）在［1，+∞）上是增函數(shù),

∴在［1，+∞）上恒有，即3x-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.則必有且在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)，又,∴.

（2）依題意，，即,∴,.

令，得.

則當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	1	（1,3）	3	（3,4）	4
		-	0	+
	-6	↘	-18	↗	-12

∴f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6.

（3）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x-4x-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根

∴x-4x-3x-bx=0，∴x=0是其中一個(gè)根，∴方程x-4x-3-b=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，

∴

∴存在符合條件的實(shí)數(shù)b，

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)生、最值、函數(shù)與方程。