Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n．S_n滿足（t-1）S_n=t（a_n-2）（t為常數(shù)，t≠0且t≠1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（-a_n）•log₃（1-S_n），當(dāng)t=

1

3

時(shí)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用（t-1）S_n=t（a_n-2），及S_n+1-S_n=a_n+1，推出a_n+1=ta_n，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用t=

1

3

時(shí)，化簡(jiǎn)出bn=

2n

3n

，然后利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由（t-1）S_n=t（a_n-2），及（t-1）S_n+1=t（a_n+1-2），作差得a_n+1=ta_n，
即數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，an=a1tn-1，
當(dāng)n=1時(shí)，（t-1）S₁=t（a₁-2），解得a₁=2t，故an=2tn．
（2）當(dāng)t=

1

3

時(shí)，an=2•(

1

3

)n，1-Sn=

1

3n

，bn=(-an)•log3(1-Sn)=

2n

3n

，
Tn=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

，

1

3

Tn=

2

32

+

4

33

+

6

34

+…+

2n

3n+1

，
作差得

2

3

Tn=

2

3

+

2

32

+

2

33

+

2

34

+…+

2

3n

-

2n

3n+1

=1-

1

3n

-

2n

3n+1

=1-

2n+3

3n+1

，
所以Tn=

3

2

-

2n+3

2•3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和的方法，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，等比數(shù)列的判斷是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．