已知函數(shù)f(x)=(1-x)ex-1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=
f(x)
x
,證明g(x)有最大值g(t),且-2<t<-1.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)先求出f′(x),從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)的最值;
(Ⅱ)先求出g(x),g′(x).設(shè)h(x)=-(x2-x+1)ex+1,則h′(x)=-x(x+1)ex又h(-2)=1-
7
e2
>0,h(-1)=1-
3
e
<0,h(0)=0,從而h(x)在(-2,-1)有零點(diǎn),找出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)g(x)的最值,從而解決問(wèn)題.
解答: 解:(Ⅰ)f′(x)=-xex
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
所以f(x)的最大值為f(0)=0.
(Ⅱ)g(x)=
(1-x)ex-1
x
,g′(x)=
-(x2-x+1)ex+1
x2

設(shè)h(x)=-(x2-x+1)ex+1,則h′(x)=-x(x+1)ex
當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.
又h(-2)=1-
7
e2
>0,h(-1)=1-
3
e
<0,h(0)=0,
所以h(x)在(-2,-1)有一零點(diǎn)t.
當(dāng)x∈(-∞,t)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(t,0)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.
由(Ⅰ)知,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),g(x)>0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)<0.
因此g(x)有最大值g(t),且-2<t<-1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐,截得的圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為2cm和5cm,圓臺(tái)母線長(zhǎng)等于12cm,求圓錐的母線的長(zhǎng)和高.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+T=an,其中T為非零正常數(shù),則稱(chēng)數(shù)列{an}為周期數(shù)列,T為數(shù)列{an}的周期.
(Ⅰ)設(shè){bn}是周期為7的數(shù)列,其中b1,b2,…,b7是等比數(shù)列,且b2=3,b4=7,求b2014
(Ⅱ)設(shè){cn}是周期為7的數(shù)列,其中c1,c2,…,c7是等比數(shù)列,且c1=1,c11=8,對(duì)于(Ⅰ)中數(shù)列{bn},記Sn=b1c1+b2c2+…+bncn,若Sn>2014,求n的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
4ex
ex+1

(1)用兩種方法判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求值域;
(2)求函數(shù)y=f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、F2(1,0),短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且
F1P
F1Q
,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在一個(gè)盒子中放有大小質(zhì)量相同的四個(gè)小球,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,現(xiàn)從這個(gè)盒子中有放回地先后摸出兩個(gè)小球,它們的標(biāo)號(hào)分別為x,y,記ξ=|x-y|.
(1)求P(ξ=1);
(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一個(gè)袋中有4個(gè)大小之地都相同的小球,其中紅球1個(gè),白球2個(gè),黑球1個(gè),現(xiàn)從袋中有放回的取球,每次隨機(jī)取一個(gè),連續(xù)取兩次.
(1)設(shè)(i,j)表示先后兩次所取到的球,試寫(xiě)出所有可能的抽取結(jié)果;
(2)求連續(xù)兩次都取到白球的概率;
(3)若取到紅球記2分,取到白球記1分,取到黑球記0分,求連續(xù)兩次球所得分?jǐn)?shù)大于2分的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P0(x0,y0)在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)內(nèi),求被P0所平分的中點(diǎn)弦的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:α為銳角,sinα=k,cosα=
3
k,求出k的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案