Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=

an-1

1+3an-1

（n≥2，n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）b_n=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，且{c_n}的前n項(xiàng)和S_n，若Sn≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1

an

=

1+3an-1

an-1

=

1

an-1

+3，

1

a1

=1，由此能證明數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)b_n=

1

an

，能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）對(duì)n分奇數(shù)與偶數(shù)討論，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、分離參數(shù)、基本不等式的性質(zhì)，由Sn≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： （1）證明：∵a₁=1，a_n=

an-1

1+3an-1

（n≥2，n∈N^*）
∴

1

an

=

1+3an-1

an-1

=

1

an-1

+3，

1

a1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴b_n=

1

an

=1+（n-1）×3=3n-2．
（3）解：∵數(shù)列{c_n}滿足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，b_n=3n-2．
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-6（b₂+b₄+…+b_n）
=-6×

n 2 (4+3n-2)

2

=-

3

2

，即t≤-

3

2

對(duì)n取任意正偶數(shù)都成立．
∴t≤-6．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=-

3

2

（n-1）[3（n-1）+3]+（3n-2）（3n+1）
=

9

2

n²+3n-

7

2

＞0，
對(duì)t≤-6時(shí)S_n≥tn²恒成立，
綜上：t≤-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．