Question

2．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$\frac{π}{4}$$＜B＜\frac{π}{2}$，acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，則tan2B•tan³A的最大值為-512．

Answer 1

分析 首先利用正弦定理化邊為角，可得2RsinAcosB-2RsinBcosA=$\frac{3}{5}$2RsinC，然后利用誘導(dǎo)公式、同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式及兩角和與差的正弦公式可得tanA=4tanB，再根據(jù)兩角差的正切公式、均值不等式求解即可．

解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，
∴2RsinAcosB-2RsinBcosA=$\frac{3}{5}$2RsinC，
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sin（A+B），
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$（sinAcosB+sinBcosA），
∴2sinAcosB=8sinBcosA，
∴tanA=4tanB，
∵$\frac{π}{4}$$＜B＜\frac{π}{2}$，
∴tanB＞1，
∴tan2B•tan³A=$\frac{2tanB}{1-{tan}^{2}B}$•tan³A=$\frac{128ta{n}^{4}B}{1-{tan}^{2}B}$，
令x=tan²B，則t＞1，
y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$，則y′=$\frac{128{（2-t}^{\;}）}{{（1-t）}^{2}}$，
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，y′＞0，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$為增函數(shù)，
當(dāng)t＞2時(shí)，y′＜0，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$為減函數(shù)，
故當(dāng)t=2時(shí)，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$取最大值-512，
故答案為：-512．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、兩角和與差的正弦公式、兩角差的正切公式、同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了基本運(yùn)算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．