Question

函數(shù)f（x）=

(x-a)2，x≤0 x+ 1 x +a，x＞0

，若當(dāng)x∈[-|a|-1，|a|]時(shí)，f（x）≥f（0）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對(duì)a討論：①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，③當(dāng)a＞0時(shí)，分別求出f（x）的最小值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性以及頂點(diǎn)，由f（0）不大于f（x）的最小值，解不等式即可得到．

解答： 解：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

x2，x≤0 x+ 1 x ，x＞0

，
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）的最小值為0，f（0）=0，
f（x）≥f（0）恒成立；
②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈[-|a|-1，0]時(shí)，f（x）=（x-a）²的最小值為0，此時(shí)x=a，
當(dāng)x∈（0，|a|]時(shí)，f（x）=x+

1

x

+a，
若a＜-1，則f（x）的最小值為2+a，此時(shí)x=1，
若-1≤a＜0，則f（x）的最小值為|a|+

1

|a|

+a=

1

|a|

，此時(shí)x=|a|．
又f（0）=a²，由于f（x）≥f（0）恒成立，則若f（x）的最小值為0，顯然不成立，
若f（x）的最小值為2+a，則2+a≥a²，解得-1≤a≤2這與a＜-1矛盾，不成立，
即有a＜0不成立；
③當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜a≤2時(shí)，
當(dāng)x∈[-|a|-1，0]時(shí)，f（x）=（x-a）²的最小值為a²，此時(shí)x=0，
當(dāng)x∈（0，|a|]時(shí)，f（x）=x+

1

x

+a的最小值為2a+

1

a

（0＜a≤1）或2+a（1＜a≤2），
則當(dāng)0＜a≤2時(shí)，a²-2a-

1

a

＜0，a²-2-a＜0，即有f（x）的最小值為a²，
而f（0）=a²，則f（x）≥f（0）恒成立；
若a＞2，則當(dāng)x∈[-|a|-1，0]時(shí)，f（x）=（x-a）²的最小值為a²，此時(shí)x=0，
當(dāng)x∈（0，|a|]時(shí)，f（x）=x+

1

x

+a的最小值為2+a，
則a²-2-a＞0，即有f（x）的最小值為2+a，
而f（0）=a²，則f（x）≥f（0）不成立．
綜上可得，a的取值范圍為[0，2]．
故答案為：[0，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要考查二次函數(shù)的最值以及對(duì)勾函數(shù)的最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．