Question

下列說法正確的是

 

（填上你認(rèn)為正確選項(xiàng)的序號）
①函數(shù)y=-sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函數(shù)；
②函數(shù)y=-2sin（2x+

π

3

）在區(qū)間（0，

π

12

）上是增函數(shù)；
③函數(shù)y=cos²x-sin²x的最小正周期為π；
④函數(shù)y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一個(gè)對稱中心是（

π

2

，0）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①，利用誘導(dǎo)公式可知函數(shù)y=-sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函數(shù)，可判斷①；
②，x∈（0，

π

12

）⇒（2x+

π

3

）∈（

π

3

，

π

2

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知函數(shù)y=2sin（2x+

π

3

）在區(qū)間（0，

π

12

）上是增函數(shù)，從而可判斷②；
③，利用余弦函數(shù)的周期性可知函數(shù)y=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期為π，可判斷③；
④，利用正切函數(shù)的對稱性，由

x

2

+

π

4

=

kπ

2

（k∈Z）得：x=kπ-

π

2

（k∈Z），再對k賦值，可判斷④．

解答： 解：對于①，函數(shù)y=-sin（kπ+x）=±sinx（k∈Z）是奇函數(shù)，故①正確；
對于②，當(dāng)x∈（0，

π

12

）時(shí)，（2x+

π

3

）∈（

π

3

，

π

2

），故函數(shù)y=2sin（2x+

π

3

）在區(qū)間（0，

π

12

）上是增函數(shù)，函數(shù)y=-2sin（2x+

π

3

）在區(qū)間（0，

π

12

）上是減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
對于③，函數(shù)y=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期為T=

2π

2

=π，故③正確；
對于④，由

x

2

+

π

4

=

kπ

2

（k∈Z）得：x=kπ-

π

2

（k∈Z），
所以函數(shù)y=2tan（

x

2

+

π

4

）的對稱中心是（kπ-

π

2

，0），當(dāng)k=1時(shí)，（

π

2

，0）為函數(shù)y=2tan（

x

2

+

π

4

）的一個(gè)對稱中心，故④正確．
綜上所述，以上說法正確的是①③④，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性與對稱性，熟練掌握正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于中檔題．