Question

已知數(shù)列{a_n}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，若a₂=2且a₁，a3+

1

2

，a₄成等差數(shù)列，定義：

n

P1+P2+…+Pn

為n個(gè)正數(shù)P₁，P₂，…，P_n（n∈N^*）的“均倒數(shù)”
（1）若數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的“均倒數(shù)“為

1

2an-1

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n    
（2）試比較

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

與2的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a1q=2 2(a1q2+ 1 2 )=a1+a1q3

，由q為正整數(shù)，解得a₁=1，q=2，從而a_n=2^n-1，設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的前n項(xiàng)和為S_n，進(jìn)而得到S_n=n•2ⁿ-n，由此能求出b_n=（n+1）•2^n-1-1．
（2）由

1

bn

=

1

n•2n-1+2n-1-1

＜

1

n•2n-1

=

2

n•2n

＜

2

2n

，利用放縮法和等比數(shù)列的性質(zhì)能求出

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列，
a₂=2且a₁，a3+

1

2

，a₄成等差數(shù)列，
∴

a1q=2 2(a1q2+ 1 2 )=a1+a1q3

，
由q為正整數(shù)，解得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1，
∵數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的“均倒數(shù)“為

1

2an-1

(n∈N*)，
∴

1

n

(b1+b2+…+bn)=2a_n-1=2ⁿ-1，
設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n=n•2ⁿ-n，
∴b₁=1×2-1=1，
n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=（n•2ⁿ-n）-[（n-1）•2^n-1-（n-1）]=（n+1）•2^n-1-1，
n=1時(shí)，上式成立，
∴b_n=（n+1）•2^n-1-1．
（2）解：∵

1

bn

=

1

n•2n-1+2n-1-1

＜

1

n•2n-1

=

2

n•2n

＜

2

2n

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）
=2×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2（1-

1

2n

）＜2．
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與2的大小的比較，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．