Question

【題目】已知函數(shù)，對(duì)任意，都有.

討論的單調(diào)性；

當(dāng)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.；(2)

【解析】

（1）根據(jù)可得，得到，求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，得到單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求單調(diào)性，否定的情況；在時(shí)，首先求得為一個(gè)零點(diǎn)；再利用零點(diǎn)存在性定理求解出中存在一個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)，可確定另一個(gè)零點(diǎn)，從而可知滿足題意.

（1）由，得

則，

若時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減

若，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)

零點(diǎn)為：，

又開口向下

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，又，有

在上單調(diào)遞增，，

令，

令，單調(diào)遞增

由，求得

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增

故

故，，

由零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間有一個(gè)根，設(shè)為：

又，得，，是的另一個(gè)零點(diǎn)

故當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，，