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20.已知函數(shù)f(x)=4cos(\frac{2π}{3}-ωx)sinωx-\sqrt{3}(ω>0,x∈R),且f(x)在y軸右側(cè)的第一個最低點的橫坐標為\frac{π}{12}
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)若α∈[0,π],且f(α)=-1,求α.

分析 (Ⅰ)由二倍角公式和輔助角公式,化簡得f(x)=sin(2ωx-\frac{2π}{3}),再結合正弦函數(shù)最小值的結論,解關于ω的方程,即可得ω的值,由此求得函數(shù)解析式,根據(jù)正弦函數(shù)圖象求單調(diào)減區(qū)間即可;
(Ⅱ)根據(jù)α的取值范圍和已知條件f(α)=-1得到2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}\frac{7π}{6},由此求得a的值.

解答 解(Ⅰ)f(x)=4cos(\frac{2π}{3}-ωx)sinωx-\sqrt{3}=4(-\frac{1}{2}cosωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx)sinωx-\sqrt{3}=-2sinωxcosωx+2\sqrt{3}{sin^2}ωx-\sqrt{3}=-sin2ωx-\sqrt{3}cos2ωx=2sin(2ωx-\frac{2π}{3})
∵f(x)在y軸右側(cè)的第一個最低點的橫坐標為\frac{π}{12}
2ω×\frac{π}{12}-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{2},得ω=1
所以f(x)=2sin(2x-\frac{2π}{3}),當2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{2π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2},
即x∈[kπ+\frac{7π}{12},kπ+\frac{13π}{12}],k∈Z時單調(diào)遞減;
(Ⅱ)α∈[0,π]可得2α-\frac{2π}{3}∈[-\frac{2π}{3},\frac{4π}{3}],因為f(α)=-\frac{1}{2},所以2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}\frac{7π}{6}
所以α=\frac{π}{4}\frac{11π}{12}

點評 本題給出三角函數(shù)式,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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