Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁與A₁C相交于點(diǎn)D．
（1）求證：BD⊥平面AA₁C₁；
（2）（文）設(shè)點(diǎn)E是直線B₁C₁上一點(diǎn)，且DE∥平面AA₁B₁B，求四棱錐E-AA₁C₁C的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由平行四邊形AA₁C₁C中AC=A₁C₁，結(jié)合題意證出△AA₁C₁為等邊三角形，同理得△ABC₁是等邊三角形，從而得到中線BD⊥AC₁，利用面面垂直判定定理即可證出BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）確定點(diǎn)E是B₁C₁的中點(diǎn)，求出BD，利用體積公式，即可求四棱錐E-AA₁C₁C的體積．

解答： （1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛A₁C₁C為平行四邊形，所以AC=A₁C₁
因?yàn)锳C=AA₁，所以AA₁=A₁C₁，
因?yàn)椤螦A₁C₁=60°，所以△AA₁C₁為等邊三角形，
同理△ABC₁是等邊三角形，
因?yàn)镈為AC₁的中點(diǎn)，所以BD⊥AC₁，
因?yàn)槠矫鍭BC₁⊥平面AA₁C₁C，平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，BD?平面ABC₁，
所以BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）解：設(shè)點(diǎn)F是A₁C₁的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)D是AC₁的中點(diǎn)，所以DF∥平面AA₁B₁B，
又因?yàn)镈E∥平面AA₁B₁B，
所以平面DEF∥平面AA₁B₁B，
又平面DEF∩平面A₁B₁C₁=EF，
平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，
所以EF∥A₁B₁，
所以點(diǎn)E是B₁C₁的中點(diǎn)．
由已知可得AC₁=2，從而BD=

3

，
所以四棱錐E-AA₁C₁C的體積VE-AA1C1C=

1

2

VB1-AA1C1C=

1

2

VB-AA1C1C=

1

6

×

1

2

×2×2sin60°×

3

=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，四棱錐E-AA₁C₁C的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．