Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．

(1)求直線AC與PB所成角的余弦值；

(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥平面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．

Answer 1

　(1)分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A(0,0,0)、B(，0,0)、C(，1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0，，1)，從而＝(，1,0)，＝(，0，－2)．

設(shè)的夾角為θ，

則cosθ＝＝，

∴AC與PB所成角的余弦值為.

(2)由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為(x,0，z)，

則＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，

化簡得

即N點的坐標(biāo)為(，0,1)，

從而N點到AB和AP的距離分別為1，.