已知橢圓C1
x24
+y2=1
,橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)O的直線l與C1相交于A,B兩點(diǎn),且l與C2相交于C,D兩點(diǎn).若|CD|=2|AB|,求直線l的方程.
分析:(1)由題意,橢圓C1
x2
4
+y2=1
的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,離心率為
3
2
,由橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸,知橢圓C2的對(duì)稱中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,由此能求出橢圓C2的方程.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx,或x=0(舍),設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,得A(-x1,-y1),C(-x2,-y2),則
AB
=(2x1,2y1),
CD
=(2x2,2y2),由|CD|=2|AB|,知x2=2x1,(4k2+1)x2-4,解得x12=
4
4k2+1
,由此能求出直線l的方程.
解答:解:(1)由題意,橢圓C1
x2
4
+y2=1
的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,離心率為
3
2
,
∵橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸,
∴橢圓C2的對(duì)稱中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,
設(shè)橢圓C2
y2
a2
+
x2
4
=1
,a>2,
a2-4
a
=
3
2
,解得a=4,
∴橢圓C2的方程為
y2
16
+
x2
4
=1

(2)如圖,設(shè)直線l的方程為y=kx,或x=0(舍),
設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,得A(-x1,-y1),C(-x2,-y2),
AB
=(2x1,2y1),
CD
=(2x2,2y2),
∵|CD|=2|AB|,∴
CD
=2
AB
,∴x2=2x1,
由方程組
y=kx
x2
4
+y2=1
,消去y,得(4k2+1)x2-4,解得x12=
4
4k2+1
,
同理,根據(jù)直線l與橢圓C2的方程得x22=
16
4+k2
,
由x2=2x1,得
16
4+k2
=4×
4
4k2+1
,
解得k=±1.
∴直線l的方程為x-y=0,或x+y=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
和拋物線C2:y2=2px(p>0),過(guò)點(diǎn)M(1,0)且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B,與橢圓交于C、D,當(dāng)|AB|:|CD|=5:3時(shí),求p的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
,橢圓C2以橢圓C1的長(zhǎng)軸為短軸,且與C1有相同的離心率,則橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
16
+
x2
4
=1
y2
16
+
x2
4
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
,其左準(zhǔn)線為l1,右準(zhǔn)線為l2,一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn),l1為準(zhǔn)線的拋物線C2交l2于A,B兩點(diǎn),則|AB|等于(  )
A、2B、4C、8D、16

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
C2
x2
16
+
y2
4
=1
判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)寫(xiě)出與橢圓C1相似且半短軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程,并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
(3)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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