【題目】如圖所示，四棱柱中，底面是以為底邊的等腰梯形，且.

（I）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線AB與平面所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）要證明平面平面，只需證明平面即可；

（Ⅱ）取BD的中點(diǎn)O，易得面ABCD，以O為原點(diǎn)，分別以為的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量為與，再利用公式計(jì)算即可.

（Ⅰ）中，，，，由余弦定理得

，

則，即，

而，故平面，

又面ABCD，所以平面平面ABCD.

（Ⅱ）取BD的中點(diǎn)O，由于，所以，

由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD.

由等腰梯形知識(shí)可得，則，，

以O為原點(diǎn)，分別以為的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

則

設(shè)平面的法向量為，則，

令，則，有，

所以，，

即直線AB與平面所成角的正弦值為.

【點(diǎn)晴】

本題考查面面垂直的證明、向量法求線面角，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)，證明：直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為，且在極坐標(biāo)下點(diǎn)P.

（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列，其中．

（1）若滿足．

①當(dāng)，且時(shí)，求的值；

②若存在互不相等的正整數(shù)，滿足，且成等差數(shù)列，求的值．

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，若，，且恒成立，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的兩條不同的直線與橢圓E分別相交于A，B和C，D四點(diǎn)，其中A為橢圓E的右頂點(diǎn).

（1）求以AB為直徑的圓的方程；

（2）設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓相交于M，N兩點(diǎn)，探究直線MN是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知如圖所示的三棱錐D﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，則球O的表面積為（ ）

A．4π B．12π C．16π D．36π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】新冠病毒是一種通過(guò)飛沫和接觸傳播的變異病毒，為篩查該病毒，有一種檢驗(yàn)方式是檢驗(yàn)血液樣本相關(guān)指標(biāo)是否為陽(yáng)性，對(duì)于份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)次．二是混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪些為陽(yáng)性，就需要對(duì)它們?cè)僦鸱輽z驗(yàn)，此時(shí)份血液檢驗(yàn)的次數(shù)總共為次．某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得4份血液樣本，考慮以下三種檢驗(yàn)方案：方案一，逐個(gè)檢驗(yàn)；方案二，平均分成兩組檢驗(yàn)；方案三，四個(gè)樣本混在一起檢驗(yàn)．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陰性的概率為．

（Ⅰ）求把2份血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率；

（Ⅱ）若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．方案一、二、三中哪個(gè)最“優(yōu)”？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)（，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )

A.B.C.D.

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【題目】平面內(nèi)與兩定點(diǎn)，連線的斜率之積等于的點(diǎn)的軌跡，加上、兩點(diǎn)所成的曲線為.若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為，且曲線上的相異兩點(diǎn)、滿足.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）求面積的最大值.

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