Question

【題目】已知函數(shù)且滿足條件：①；②.

(1)求的表達(dá)式；

(2)當(dāng)時(shí)，證明:；

(3)若函數(shù)，討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>，圖像關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，是奇函數(shù)，圖像關(guān)于（0，0）成中心對(duì)稱(chēng)，故，求解

（2）由三角函數(shù)線的定義直接證明。

（3）先設(shè),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)值進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)， ，。

：（1）因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，圖像關(guān)于（0，0）成中心對(duì)稱(chēng)，

又因?yàn)?/span>，圖像關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，

則，即，且，故，

（另：，則）

又，即，故，綜上。

（2）當(dāng)，，設(shè)，即證，

如圖：在單位圓中，由三角函數(shù)線知，

則在中，，

即，所以。（另：也可以利用證明！）

（3）設(shè),,注意到，，

當(dāng)時(shí)，得，即，則有2018個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令得，

則有 個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令得，

則有個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令得，

則有個(gè)零點(diǎn)；